Minggu, 31 Januari 2010

Dinamika (Hukum Newton tentang Gerak dan Gravitasi)

BAB I

GAYA SENTRIPETAL

Setiap benda yang bergerak membentuk lintasan lingkaran harus tetap diberikan gaya agar benda tersebut terus berputar. Anda dapat membuktikannya dengan mengikat sebuah benda (sebaiknya berbentuk bulat atau segiempat) pada salah satu ujung tali. Setelah itu putarlah tali tersebut, sehingga benda tersebut ikut berputar. Jika anda menghentikan putaran, maka benda tersebut perlahan-lahan berhenti. Hal dikarenakan tidak ada gaya yang diberikan. Agar benda tetap berputar maka harus diberikan gaya secara terus menerus, yang dalam hal ini adalah tangan anda yang memutar tali.


Besarnya gaya tersebut, dapat dihitung dengan Hukum II Newton untuk komponen radial :

ar adalah percepatan sentripetal (percepatan radial) yang arahnya menuju pusat lingkaran. Persamaan di atas menunjukan hubungan antara gaya dan percepatan sentripetal. Karena gaya memiliki hubungan dengan percepatan sentripetal, maka arah gaya total yang diberikan harus menuju ke pusat lingkaran. Jika tidak ada gaya total yang diberikan (yang arahnya menuju pusat lingkaran) maka benda tersebut akan bergerak lurus alias bergerak keluar dari lingkaran. Anda dapat membuktikannya dengan melepaskan tali dari tangan anda. Untuk menarik sebuah benda dari jalur “normal”-nya, diperlukan gaya total ke samping. Karena arah percepatan sentripetal selalu menuju pusat lingkaran, maka gaya total ke samping tersebut harus selalu diarahkan menuju pusat lingkaran. Gaya ini disebut gaya sentripetal (sentripetal = “menuju ke pusat”). Gaya sentripetal bukan jenis gaya baru, tetapi merupakan gaya total yang arahnya menuju pusat lingkaran. Gaya sentripetal harus diberikan oleh benda lain. misalnya, ketika kita memutar bola yang terikat pada salah satu ujung tali, kita menarik tali tersebut dan tali memberikan gaya pada bola sehingga bola berputar.

Percepatan sentripetal (arad) dapat dinyatakan dalam periode T (waktu yang dibutuhkan untuk melakukan putaran).

Sekarang mari kita tinjau gaya sentripetal pada beberapa jenis Gerak Melingkar Beraturan :

BENDA YANG BERPUTAR HORISONTAL

Misalnya kita tinjau sebuah benda yang diputar menggunakan tali pada bidang horisontal, sebagaimana tampak pada gambar di bawah :

Amati bahwa pada benda tersebut bekerja gaya berat (mg) yang arahnya ke bawah dan gaya tegangan tali (FT) yang bekerja horisontal. Tegangan tali timbul karena kita memberikan gaya tarik pada tali ketika memutar benda (ingat kembali penjelasan di atas). Gaya tegangan tali ini berfungsi untuk memberikan percepatan sentripetal. Berpedoman pada koordinat bidang xy, kita tetapkan komponen horisontal sebagai sumbu x. Dengan demikian, berdasarkan hukum II Newton, kita dapat menurunkan persamaan gaya sentripetal untuk benda yang berputar horisontal :

BENDA YANG BERPUTAR VERTIKAL

Misalnya kita tinjau sebuah benda yang diputar menggunakan tali pada bidang vertikal, sebagaimana tampak pada gambar di bawah :

Ketika benda berada di titik A, pada benda bekerja gaya berat (mg) dan gaya tegangan tali (FTA) yang arahnya ke bawah (menuju pusat lingkaran). Kedua gaya ini memberikan percepatan sentripetal pada benda. Ketika benda berada pada titik A’, pada benda bekerja gaya berat yang arahnya ke bawah dan gaya tegangan tali (FTA‘) yang arahnya ke atas (menuju pusat lingkaran).

Menggunakan hukum II Newton, kita dapat menurunkan persamaan gaya sentripetal untuk benda yang berputar vertikal. Terlebih dahulu kita tetapkan arah menuju ke pusat sebagai arah positif.

Gaya Sentripetal di titik A

Terlebih dahulu kita tinjau komponen gaya yang bekerja ketika benda berada di titik A. Ketika berada pada titik A, hubungan antara gaya sentripetal, gaya berat, massa benda, jari-jari dan percepatan sentripetal dinyatakan dengan persamaan di bawah ini :

Keterangan :

FTA = gaya tegangan tali di titik A, Fs = gaya sentripetal, as = percepatan sentripetal, vA = kecepatan gerak benda di titik A, r = jari-jari lingkaran (panjang tali)

Berdasarkan persamaan 1 di atas, tampak bahwa ketika benda berada di titik A (puncak lintasan), benda masih bisa berputar walaupun tidak ada gaya tegangan tali yang bekerja pada benda tersebut. Untuk membuktikan hal ini, mari kita obok-obok persamaan di atas :

Jika FTA = 0, maka persamaan di atas akan menjadi :

Jadi ketika berada di titik A, benda tersebut masih bisa berputar dengan kecepatan linear vA, meskipun tidak ada gaya tegangan tali (Gaya tegangan tali pada kasus ini = gaya sentripetal). Besar kecepatan dinyatakan pada persamaan 2. Karena percepatan gravitasi (g) tetap maka besar kecepatan linear bergantung pada jari-jari lingkaran / panjang tali). Semakin panjang tali (semakin besar jari-jari lingkaran), semakin besar laju linear benda.

Gaya Sentripetal di titik A’

Sekarang kita tinjau gaya sentripetal apabila benda berada di titik A’.

Ketika benda berada di titik A’, pada benda bekerja gaya berat (mg) yang arahnya ke bawah dan gaya tegangan tali (FTA‘) yang arahnya ke atas. Menggunakan hukum II Newton, mari kita turunkan persamaan yang menyatakan hubungan antara gaya sentripetal, gaya berat, massa benda, jari-jari dan percepatan sentripetal :

Berdasarkan persamaan, tampak bahwa ketika berada di titik A’, besar gaya sentripetal (dalam kasus ini gaya sentripetal = gaya tegangan tali) lebih besar dibandingkan dengan ketika benda berada di titik A’. Dengan demikian, ketika benda berada di titik A’ kita harus memberikan gaya putar yang lebih besar untuk mengimbangi gaya berat benda.

Anda dapat melakukan percobaan untuk membuktikan hal ini. Ikatlah sebuah benda pada salah satu ujung tali dan putar benda tersebut secara vertikal. Ketika benda berada di lembah lintasan (A’), anda akan merasakan efek tarikan gaya berat yang lebih besar dibandingkan ketika benda berada di puncak lintasan (A). Agar benda tetap berputar, gaya yang anda berikan harus lebih besar untuk mengimbangi gaya berat benda yang arahnya ke bawah.

Salah satu contoh gerak melingkar vertikal yang dapat kita temui dalam kehidupan sehari-hari adalah wahana putar. Pada dasarnya, komponen gaya sentripetal yang bekerja pada wahana putar sama dengan penjelasan gurumuda di atas. Bedanya, gaya sentripetal pada penjelasan di atas adalah gaya tegangan tali.

KENDARAAN YANG MELEWATI TIKUNGAN

Salah satu penerapan fisika dalam kehidupan kita, berkaitan dengan percepatan sentripetal adalah ketika kendaraan melewati tikungan. Pada kesempatan ini kita akan meninjau gaya sentripetal yang menyebabkan kendaraan dapat melewati tikungan. Pembahasan ini lebih berkaitan dengan gerakan mobil, atau kendaraan sejenis lainnya (truk, bus dkk). Kita tidak meninjau sepeda motor karena analisisnya sangat kompleks (mengapa kompleks alias ribet ? ayo… berpikirlah. Sering nonton GP khan ?).

Tikungan rata

Terlebih dahulu kita bahas tikungan yang permukaan jalannya rata. Ketika melewati tikungan yang rata, setiap mobil memiliki gaya sentripetal yang arahnya menuju pusat lintasan lingkaran (amati gambar di bawah). Gaya sentripetal tersebut bersumber dari gaya gesekan antara ban dengan permukaan jalan. Gesekan yang terjadi adalah gesekan statis selama ban tidak selip. Mengapa tidak gesekan kinetis ? anggap saja ini pr dari gurumuda untuk anda. Gunakan pengetahuan anda tentang gaya gesekan untuk menyelesaikan pr dari gurumuda ini… oke, kembali ke laptop, eh tikungan.

Cermati gambar di atas. maaf gambarnya kurang sempurna (gambar kanan). Maksud yang ingin disampaikan gambar kanan adalah bahwa pada mobil tersebut, selain bekerja gaya sentripetal, bekerja juga gaya berat yang arahnya tegak lurus ke bawah dan gaya normal yang arahnya tegak lurus ke atas. Ketika mobil melewati tikungan dengan kecepatan (v), jalan memberikan gaya ke dalam (gesekan terhadap ban) dan membuat mobil tersebut bergerak melingkar. Arah gaya gesekan (Fges) menuju pusat lingkaran, seperti yang diperlihatkan pada gambar di atas. gaya gesekan inilah yang berperan sebagai gaya sentripetal. Sebenarnya penjelasan ini dapat anda pahami dengan mudah. Bayangkanlah, apa yang terjadi ketika anda mengendarai mobil pada tikungan yang sangat licin (anggap saja sedang hujan dan permukaan luar roda mobil anda sudah gundul) ? bisa ditebak, anda akan digiring ambulans menuju rumah sakit… mengapa ? ketika tidak ada gaya gesekan statis, ban mobil anda akan selip dan keluar dari lintasan lingkaran… dengan kata lain, pada mobil anda tidak bekerja gaya sentripetal. Jadi berhati-hatilah ketika melewati tikungan, apalagi tikungan tajam…

Sekarang mari kita turunkan persamaan yang menyatakan hubungan antara gaya sentripetal (dalam kasus ini gaya sentripetal adalah gaya gesekan) dengan percepatan, jari-jari lintasan lingkaran dan massa benda…

Berdasarkan hukum II Newton, gaya total yang bekerja pada mobil ketika melewati tikungan adalah :

FR = Gaya radial alias gaya sentripetal, dan aR = gaya radial alias gaya sentripetal. Radial = sentripetal. Pada kasus ini, gaya sentripetal = gaya gesekan.

Besar gaya gesekan dapat dihitung dengan persamaan :

BAB II

GAYA SENTRIFUGAL ?

Ketika kita memutar bola, kita merasa bahwa seolah-olah ada gaya yang menarik tangan kita keluar. Hal ini seringkali diartikan secara keliru, bahwa ada gaya yang bekerja “menjahui pusat”. Kesalahpahaman yang terjadi menggambarkan bahwa benda yang bergerak melingkar mempunyai gaya ke luar yang bekerja padanya, yang disebut gaya sentrifugal (menjahui pusat). Kenyataan yang terjadi bukan seperti itu. Untuk mempertahankan gerak bola, tangan kita menarik tali ke dalam, yang memberikan gaya pada bola untuk bergerak melingkar karena ada gaya ke dalam alias menuju pusat lingkaran. Bola memberikan gaya yang sama tetapi berlawanan arah (ingat hukum III Newton : ada aksi maka ada reaksi, dan besarnya gaya aksi dan reaksi sama tetapi berlawanan arah). Hal ini yang kita rasakan seperti ada tarikan ke luar, tetapi itu bukan gaya sentrifugal, tetapi gaya reaksi yang diberikan oleh bola yang arahnya keluar melawan gaya aksi yang kita berikan kepada bola. Dengan demikian, tidak ada gaya sentrifugal yang bekerja pada bola.

http://gurumuda.files.wordpress.com/2008/09/9r.jpg

Untuk membuktikan bahwa tidak ada gaya sentrifugal, bayangkanlah apa yang terjadi ketika kita melepaskan tali. Anda juga dapat membuktikan dengan melakukan percobaan di atas (memutar tali yang salah satu ujungnya diikatkan bola)

Jika ada gaya sentrifugal, maka bola akan terlempar ke luar, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Tetapi kenyataannya tidak demikian; bola melayang secara tangensial atau ketika tali dilepaskan, arah gerak bola sesuai dengan arah kecepatan linearnya.

Hal ini disebabkan karena ketika kita melepaskan tali, tidak ada lagi gaya ke dalam yang bekerja pada bola.

Jika ada gaya sentrifugal maka ketika tali dilepaskan, bola akan melayang seperti pada gambar a. kenyataan yang terjadi, ketika tali dilepaskan bola melayang seperti gambar b.

http://gurumuda.files.wordpress.com/2008/09/9s.jpg

BAB III

Hukum Newton pada benda-benda yang dihubungkan dengan tali – Katrol

Pengantar

Pada pembahasan mengenai hukum Newton pada bidang datar dan bidang miring, kita telah menganalisis komponen-komponen gaya yang bekerja pada benda dan yang mempengaruhi gerakan benda pada permukaan bidang datar dan bidang miring. Kali ini kita mencoba mempelajari penerapan hukum Newton pada benda-benda yang dihubungkan dengan tali, misalnya benda yang digantung pada katrol. Sebelum membahas lebih jauh, terlebih dahulu kita berkenalan dengan konsep tegangan tali. Tegangan tali akan selalu dijumpai dalam setiap analisis mengenai komponen-komponen gaya yang bekerja pada benda yang dihubungkan dengan tali. Oleh karena itu, alangkah baiknya jika kosep tegangan tali dipahami secara baik dan benar sehingga memudahkan dirimu dalam memahami penjelasan selanjutnya.

Tegangan Tali

Untuk membantu dirimu memahami konsep tegangan tali, pahami ilustrasi berikut ini. Misalnya kita letakan 3 benda pada permukaan bidang datar, di mana ketiga benda tersebut dihubungkan dengan tali (amati gambar di bawah).

Ketika kita menarik benda A ke kiri dengan gaya F, benda B dan C juga ikut tertarik karena ketiga benda tersebut dihubungkan dengan tali. Pada saat benda A ditarik, tali 1 dan tali 2 tegang sehingga pada kedua ujung tali tersebut timbul tegangan tali (T). Benda A dan B dihubungkan dengan tali yang sama sehingga gaya tegangan tali pada kedua ujung tali 1 sama besar (T1). Demikian juga, besar gaya tegangan tali pada kedua ujung tali 2 (T2) sama besar, karena benda B dan C dihubungkan dengan tali yang sama. Ingat bahwa gaya tegangan tali pada tali 1 (T1) berbeda dengan gaya tegangan tali pada tali 2 (T2), karena tali 1 bekerja pada benda A dan B sedangkan tali 2 bekerja pada benda B dan C. Inti penjelasan ini adalah gaya tegangan tali (T) sama besar apabila tali bekerja pada benda yang sama, dang besar gaya tegangan tali berbeda apabila bekerja pada benda yang berbeda.

Tegangan Tali pada Katrol

Agar dirimu semakin memahami gaya tegangan tali, mari kita tinjau gaya tegangan tali katrol. Permukaan katrol dianggap licin sempurna sehingga tidak ada gaya gesek dan massa tali sangat ringan sehingga kita abaikan dalam analisis ini.

Ilustrasi 1 :

Pada katrol digantungkan tali dan pada kedua ujung tali digantungkan dua benda, masing-masing bermasa m1 dan m2. m1 lebih besar dari m2 (gaya berat pada benda bermassa m1 lebih besar dari gaya berat pada benda bermassa m2) sehingga katrol berputar ke kiri (berlawanan dengan arah jarum jam), sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Benda bermassa m1 bergerak turun sedangkan benda bermassa m2 bergerak naik….

Pada tali bekerja gaya tegangan tali T1 dan T2, di mana besar gaya tegangan tali T1 = T2 (ingat ya, T1 dan T2 berada pada tali yang sama).

Ilustrasi 2 :

Katrol 1 dan katrol 2 dihubungkan dengan sebuah tali panjang. Katrol 2 dan benda bermassa m dihubungkan dengan sebuah tali pendek, sebagaimana tampak pada gambar di bawah…

Ketika kita menarik tali ke bawah dengan gaya sebesar F, maka akan timbul gaya tegangan tali T1, T2 dan T3. T4 adalah gaya tegangan tali yang bekerja pada katrol 1 dengan tempat di mana tali dihubungkan, sedangkan T5 adalah gaya tegangan tali yang bekerja pada katrol 2 dan benda. Besar T1 = T2 = T3. T1, T2 dan T3 tidak sama dengan T4 dan T5. Besar T4 juga tidak sama dengan T5. Mengapa demikian ? alasannya, T1, T2 dan T3 merupakan gaya tegangan tali pada tali yang sama, sedangkan T4 dan T5 merupakan gaya tegangan tali pada tali yang berbeda. Sampai di sini mudah2an dirimu memahami penjelasan GuruMuda.

Hukum Newton pada benda-benda yang dihubungkan dengan tali.

Pertama, dua buah benda bermassa sama, di mana kedua benda tersebut dihubungkan dengan sebuah tali dan digantungkan pada sebuah katrol (Lihat gambar di bawah). Kita menganggap permukaan katrol sangat licin sehingga gaya gesekan diabaikan dan massa tali sangat ringan sehingga kita abaikan dalam analisis ini.

Berdasarkan Hukum III Newton (Hukum aksi-reaksi), benda 1 ditarik oleh tali dengan gaya sebesar T1 yang arahnya ke atas dan tali sendiri ditarik ke bawah oleh benda 1 dengan gaya sebesar T1 yang arahnya ke bawah (sambil lihat gambar ya…) Demikian juga dengan benda 2. Benda 2 ditarik oleh tali dengan gaya sebesar T2 yang arahnya ke atas dan tali sendiri ditarik ke bawah oleh benda 2 dengan gaya sebesar T2 yang arahnya ke bawah.

Karena m1 (massa benda 1) dan m2 (massa benda 2) sama besar maka benda diam alias tidak bergerak. Dengan kata lain, benda berada dalam keadaan setimbang. walaupun benda diam, tapi pada benda tersebut bekerja gaya berat dan gaya tegangan tali.

Berdasarkan hukum II Newton, gaya yang bekerja pada benda di atas adalah :

Kedua, dua buah benda dihubungkan dengan sebuah tali dan digantungkan pada sebuah katrol. Massa salah satu benda lebih besar dari benda lain (m2 > m1). Berdasarkan Hukum III Newton (Hukum aksi-reaksi), benda 1 ditarik oleh tali dengan gaya sebesar T1 yang arahnya ke atas dan tali sendiri ditarik ke bawah oleh benda 1 dengan gaya sebesar T1 yang arahnya ke bawah (sambil lihat gambar ya…) Demikian juga benda 2 ditarik oleh tali dengan gaya sebesar T2 yang arahnya ke atas dan tali sendiri ditarik ke bawah oleh benda 2 dengan gaya sebesar T2 yang arahnya ke bawah.

Karena m2 (massa benda 2) lebih besar dari m1 (massa benda 1) maka benda 2 bergerak ke bawah dan benda 1 bergerak ke atas. Perhatikan arah putaran katrol. Benda 2 bergerak ke bawah karena dipengaruhi oleh gaya berat (w2). Ingat ya, w2 > w1

Berdasarkan hukum II Newton, gaya yang bekerja pada benda di atas adalah :

Karena gaya tegangan tali T1 dan gaya tegangan tali T2 bekerja pada tali yang sama, maka :

T1 = T2 = T

Dengan demikian, persamaan 1 dan persamaan 2 kita tulis ulang menjadi :

Menentukan nilai percepatan (a)

Kita eliminasi gaya tegangan tali (T) pada kedua persamaan ini untuk memperoleh nilai percepatan gerak benda (a) :

Bagaimana dengan gaya tegangan tali T ?

Untuk memperoleh nilai T, kita subtitusikan nilai a pada persamaan 3 ke dalam persamaan 1 atau persamaan 2. Misalnya kita subtitusikan nilai a pada persamaan 3 ke dalam persamaan 1 :

Ketiga, dua benda dihubungkan dengan katrol pada bidang miring, di mana massa benda 2 (m2) lebih besar dari massa benda 1 (m1), sehingga benda 2 bergerak ke bawah sedangkan benda 1 bergerak ke atas. perhatikan arah putaran katrol.

Berdasarkan hukum II Newton, gaya yang bekerja pada benda di atas adalah :

Karena gaya tegangan tali T1 dan gaya tegangan tali T2 bekerja pada tali yang sama, maka :

T1 = T2 = T

Dengan demikian, persamaan 1 dan persamaan 2 kita tulis ulang menjadi :

BAB IV

Hukum Newton pada bidang datar dan bidang miring

Hukum-hukum Newton yang telah kita pelajari sebelumnya dapat digunakan untuk memecahkan berbagai persoalan mekanika. Sebagai contoh, kita dapat menentukan percepatan gerak sebuah benda dengan mengetahui gaya-gaya yang bekerja pada benda tersebut. Atau sebaliknya, kita juga bisa menentukan gaya-gaya yang bekerja pada sebuah benda yang bergerak, apabila diketahui percepatannya. Nah, pada kesempatan ini kita akan mempelajari lebih jauh penerapan Hukum Newton bidang datar dan bidang miring, terutama berkaitan dengan benda-benda yang bergerak akibat adanya gaya tetap yang bekerja padanya. Met belajar ya, semoga setelah belajar pembahasan ini, dirimu dapat menyelesaikan berbagai persoalan mekanika menggunakan Hukum Newton…. :)

Catatan :

Dengan berpedoman pada koordinat x dan y, kita tetapkan arah ke kanan dan ke atas sebagai arah positif sedangkan ke bawah dan ke kiri sebagai arah negatif.

Benda yang diletakan pada bidang datar dan ditarik dengan gaya konstan

Permukaan bidang datar sangat licin (gesekan nol)

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-a1.jpg

Pada gambar a, benda di tarik ke kanan dengan konstan F yang sejajar horisontal, sedangkan pada gambar b, benda ditarik ke kanan dengan gaya konstan F yang membentuk sudut terhadap horisontal. Apakah pada benda hanya bekerja gaya tarik F ? mari kita tinjau gaya-gaya yang bekerja pada benda di atas….

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-b.jpg

Karena permukaan bidang datar sangat licin, maka kita mengandaikan gaya gesekan nol. Dalam kenyataannya gaya gesek tidak pernah bernilai nol. Ini hanya model ideal. Selain gaya tarik F yang arahnya ke kanan, pada benda juga bekerja gaya berat (w) dan gaya normal (N). Pasangan gaya berat w dan gaya normal N bukan pasangan gaya aksi-reaksi. Ingat bahwa gaya aksi-reaksi bekerja pada benda yang berbeda, sedangkan kedua gaya di atas (Gaya berat dan Gaya Normal) bekerja pada benda yang sama. Disebut gaya normal karena arah gaya tersebut tegak lurus bidang di mana benda berada… besar gaya normal sama dengan gaya berat (N = w). Karena gaya normal (N) dan gaya berat (w) memiliki gaya berat yang sama dan arahnya berlawanan maka kedua gaya tersebut saling menghilangkan…. Pada gambar a, benda bergerak karena adanya gaya tarik (F), sedangkan pada gambar b, benda bergerak karena komponen gaya tarik pada arah horisontal (Fx).

Gambar a

Berdasarkan hukum II Newton, percepatan gerak benda adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-c.jpg

Komponen gaya yang bekerja pada sumbu y (vertikal) adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-d.jpg

Gambar b

Berdasarkan hukum II Newton, percepatan gerak benda adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-e.jpg

Komponen gaya yang bekerja pada sumbu y (vertikal) adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-datar-dan-miring-1.jpg

Permukaan bidang datar kasar (ada gaya gesekan)

Sekarang mari kita tinjau benda yang diletakan pada bidang datar yang kasar… Selain ketiga gaya seperti yang telah diuraikan di atas, pada benda juga bekerja gaya gesekan (Fg).

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-g.jpg

Gambar a

Berdasarkan hukum II Newton, percepatan gerak benda adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-h.jpg

Komponen gaya yang bekerja pada sumbu y (vertikal) adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-i.jpg

Gambar b

Berdasarkan hukum II Newton, percepatan gerak benda adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-j1.jpg

Komponen gaya yang bekerja pada sumbu y (vertikal) adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-datar-dan-miring-2.jpg

Gaya gesekan yang bekerja pada dua permukaan benda yang bersentuhan, ketika benda tersebut belum bergerak disebut gaya gesek statik (lambangnya fs). Gaya gesek statis yang maksimum sama dengan gaya terkecil yang dibutuhkan agar benda mulai bergerak. Ketika benda telah bergerak, gaya gesekan antara dua permukaan biasanya berkurang sehingga diperlukan gaya yang lebih kecil agar benda bergerak dengan laju tetap. Ketika benda telah bergerak, gaya gesekan masih bekerja pada permukaan benda yang bersentuhan tersebut. Gaya gesekan yang bekerja ketika benda bergerak disebut gaya gesekan kinetik (lambangnya fk) (kinetik berasal dari bahasa yunani yang berarti “bergerak”). Ketika sebuah benda bergerak pada permukaan benda lain, gaya gesekan bekerja berlawanan arah terhadap kecepatan benda.

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-l.jpg

Permukaan bidang miring sangat licin (gesekan nol)

Terdapat tiga kondisi yang berbeda, sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah. Pada gambar a, benda meluncur pada bidang miring yang licin (gaya gesekan = 0) tanpa ada gaya tarik. Jadi benda bergerak akibat adanya komponen gaya berat yang sejajar bidang miring (w sin teta). Pada gambar b, benda meluncur pada bidang miring yang licin (gaya gesekan = 0) akibat adanya gaya tarik (F) dan komponen gaya berat yang sejajar bidang miring (w sin teta). Pada gambar c, benda bergerak akibat adanya komponen gaya tarik yang sejajar permukaan bidang miring (F cos teta) dan komponen gaya berat yang sejajar bidang miring (w sin teta). Sekarang mari kita tinjau satu persatu…..

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-m.jpg

Benda bergerak akibat adanya komponen gaya berat yang sejajar permukaan bidang miring….

Berdasarkan hukum II Newton, percepatan gerak benda adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-n.jpg

Komponen gaya yang bekerja pada sumbu y (vertikal) adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-o.jpg

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-p.jpg

Pada gambar ini (gambar b), benda bergerak akibat adanya gaya tarik F dan komponen gaya berat (w sin teta) yang sejajar permukaan bidang miring.

Berdasarkan hukum II Newton, percepatan gerak benda adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-q.jpg

Komponen gaya yang bekerja pada sumbu y adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-r.jpg

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-s.jpg

Pada gambar ini (gambar c), benda bergerak akibat adanya komponen gaya tarik F yang sejajar permukaan bidang miring (F cos teta) dan komponen gaya berat yang sejajar permukaan bidang miring ((w sin teta).

Berdasarkan hukum II Newton, percepatan gerak benda adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-t.jpg

Komponen gaya yang bekerja pada sumbu y adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-datar-dan-miring-3.jpg

Permukaan bidang miring kasar (ada gaya gesekan)

Pertama, benda bergerak pada bidang miring akibat adanya komponen gaya berat yang sejajar permukaan bidang miring, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Karena permukaan bidang miring kasar, maka terdapat gaya gesekan yang arahnya berlawanan dengan arah gerakan benda….

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-v.jpg

Berdasarkan hukum II Newton, percepatan gerak benda adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-w.jpg

Komponen gaya yang bekerja pada sumbu y adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-x.jpg

Kedua, benda bergerak pada bidang miring akibat adanya gaya tarik (F) dan komponen gaya berat yang sejajar permukaan bidang miring (w sin teta), sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Karena permukaan bidang miring kasar, maka terdapat gaya gesekan (fg) yang arahnya berlawanan dengan arah gerakan benda….

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-y.jpg

Berdasarkan hukum II Newton, percepatan gerak benda adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-z.jpg

Komponen gaya yang bekerja pada sumbu y adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-z2.jpg

Ketiga, benda bergerak akibat adanya komponen gaya tarik yang sejajar permukaan bidang miring (F cos teta) dan komponen gaya berat yang sejajar bidang miring (w sin teta). Karena permukaan bidang miring kasar, maka terdapat gaya gesekan (fg) yang arahnya berlawanan dengan arah gerakan benda….

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-z3.jpg

Berdasarkan hukum II Newton, percepatan gerak benda adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-z4.jpg

Komponen gaya yang bekerja pada sumbu y adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-pada-bidang-datar-miring_files\hukum-newton-pada-bidang-miring-z5.jpg

BAB V

Hukum Newton Tentang Gravitasi

Pengantar

Pada pembahasan mengenai pokok bahasan kinematika (gerak lurus dan gerak bengkok, kita telah menyinggung mengenai Gravitasi. Pada kesempatan ini, kita akan mempelajari Gravitasi secara lebih mendalam.

Mengapa buah mangga yang lezat dan bergizi yang terlepas dari tangkainya selalu jatuh ke permukaan bumi ?

Selain mengembangkan tiga hukum tentang Gerak (Hukum I Newton, Hukum II Newton dan Hukum III Newton), eyang Newton juga menyelidiki gerakan planet-planet dan bulan. Ia selalu bertanya mengapa bulan selalu berada dalam orbitnya yang hampir berupa lingkaran ketika mengitari bumi. Selain itu, ia juga selalu mempersoalkan mengapa benda-benda selalu jatuh menuju permukaan bumi. Wililiam Stukeley, teman eyang Newton ketika masih muda, menulis bahwa ketika mereka sedang duduk minum teh di bawah pohoh apel, eyang Newton yang waktu itu masih muda dan cakep, melihat sebuah apel jatuh dari pohonnya. Dikatakan bahwa eyang Newton mendapat ilham dari jatuhnya buah apel. Menurutnya, jika gravitasi bekerja di puncak pohon apel, bahkan di puncak gunung, maka mungkin saja gravitasi bekerja sampai ke bulan. Dengan penalaran bahwa gravitasi bumi yang menahan bulan pada orbitnya, eyang Newton mengembangkan teori gravitasi yang sekarang diwariskan kepada kita.

Perlu diketahui bahwa persoalan yang dipikirkan eyang Newton ini telah ada sejak zaman yunani kuno. Ada dua persoalan dasar yang telah diselidiki oleh orang yunani, jauh sebelum eyang Newton lahir. Persoalan yang selalu dipertanyakan adalah mengapa benda-benda selalu jatuh ke permukaan bumi dan bagaimana gerakan planet-planet, termasuk matahari dan bulan (matahari dan bulan pada waktu itu digolongkan menjadi planet-planet). Orang-orang Yunani pada waktu itu melihat kedua persoalan di atas (benda yang jatuh dan gerakan planet) sebagai dua hal yang berbeda. Demikian hal itu berlanjut hingga zaman eyang Newton. Jadi apa yang dihasilkan oleh eyang dibangun di atas hasil karya orang-orang sebelum dirinya. Yang membedakan eyang Newton dan orang-orang sebelumnya adalah bahwa eyang memandang kedua persoalan dasar di atas (gerak jatuh benda dan gerakan planet) disebabkan oleh satu hal saja dan pasti mematuhi hukum yang sama. Pada abad ke-17, eyang menemukan bahwa ada interaksi yang sama yang menjadi penyebab jatuhnya buah apel dari pohon dan membuat planet tetap berada pada orbitnya ketika mengelilingi matahari. Demikian juga bulan, satu-satunya satelit alam kesayangan bumi tetap berada pada orbitnya.

Mari kita belajar hukum dasar cetusan eyang Newton yang kini diwariskan kepada kita. Hukum dasar inilah yang menentukan interaksi gravitasi. Ingat bahwa hukum ini bersifat universal alias umum; gravitasi bekerja dengan cara yang sama, baik antara diri kita dengan bumi, antara bumi dengan buah mangga yang lezat ketika jatuh, antara bumi dengan pesawat yang jatuh ;), antara planet dengan satelit dan antara matahari dengan planet-planetnya dalam sistem tatasurya.

Tahukah anda, bahkan gagasan eyang Newton mengenai gravitasi pada mulanya dibantai habisan-habisan oleh banyak ilmuwan yang bertentangan dengan gagasannya ? Pada waktu itu, banyak ilmuwan yang mungkin saking kebingungan sulit menerima gagasan eyang Newton mengenai gaya gravitasi. Gaya gravitasi termasuk gaya tak sentuh, di mana bekerja antara dua benda yang berjauhan alias tidak ada kontak antara benda-benda tersebut. Gaya-gaya yang umumnya dikenal adalah gaya-gaya yang bekerja karena adanya kontak; gerobak sampah bergerak karena kita memberikan gaya dorong, bola bergerak karena ditendang, sedangkan gravitasi, bisa bekerja tanpa sentuhan ? aneh… eyang Newton mengatakan kepada mereka bahwa ketika apel jatuh, bumi memberikan gaya kepadanya sehingga apel tersebut jatuh, demikian juga bumi mempertahankan bulan tetap pada orbitnya dengan gaya gravitasi, meskipun tidak ada kontak dan letak bumi dan bulan berjauhan. Akhirnya, perlahan-lahan sambil bersungut-sungut mereka mulai merestui dan mendukung dengan penuh semangat Hukum Gravitasi yang dicetuskan oleh Eyang Newton :)

HUKUM GRAVITASI NEWTON

Sebelum mencetuskan Hukum Gravitasi Universal, eyang Newton telah melakukan perhitungan untuk menentukan besar gaya gravitasi yang diberikan bumi pada bulan sebagaimana besar gaya gravitasi bumi yang bekerja pada benda-benda di permukaan bumi. Sebagaimana yang kita ketahui, besar percepatan gravitasi di bumi adalah 9,8 m/s2. Jika gaya gravitasi bumi mempercepat benda di bumi dengan percepatan 9,8 m/s2, berapakah percepatan di bulan ? karena bulan bergerak melingkar beraturan (gerakan melingkar bulan hampir beraturan), maka percepatan sentripetal bulan dihitung menggunakan rumus percepatan sentripetal Gerak melingkar beraturan.

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-a.jpg

Diketahui orbit bulan yang hampir bulat mempunyai jari-jari sekitar 384.000 km dan periode (waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu putaran) adalah 27,3 hari. Dengan demikian, percepatan bulan terhadap bumi adalah

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-b.jpg

Jadi percepatan gravitasi bulan terhadap bumi 3600 kali lebih kecil dibandingkan dengan percepatan gravitasi bumi terhadap benda-benda di permukaan bumi. Bulan berjarak 384.000 km dari bumi. Jarak bulan dengan bumi ini sama dengan 60 kali jari-jari bumi (jari-jari bumi = 6380 km). Jika jarak bulan dari bumi (60 kali jari-jari bumi) dikuadratkan, maka hasilnya sama dengan 3600 (60 x 60 = 602 = 3600). Angka 3600 yang diperoleh dengan mengkuadratkan 60 hasilnya sama dengan Percepatan bulan terhadap bumi, sebagaimana hasil yang diperoleh melalui perhitungan.

Berdasarkan perhitungan ini, eyang newton menyimpulkan bahwa besar gaya gravitasi yang diberikan oleh bumi pada setiap benda semakin berkurang terhadap kuadrat jaraknya (r) dari pusat bumi. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-c.jpg

Selain faktor jarak, Eyang Newton juga menyadari bahwa gaya gravitasi juga bergantung pada massa benda. Pada Hukum III Newton kita belajar bahwa jika ada gaya aksi maka ada gaya reaksi. Ketika bumi memberikan gaya aksi berupa gaya gravitasi kepada benda lain, maka benda tersebut memberikan gaya reaksi yang sama besar tetapi berlawanan arah terhadap bumi. Karena besarnya gaya aksi dan reaksi sama, maka besar gaya gravitasi juga harus sebanding dengan massa dua benda yang berinteraksi. Berdasarkan penalaran ini, eyang Newton menyatakan hubungan antara massa dan gaya gravitasi. Secara matematis ditulis sbb :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-d.jpg

MB adalah massa bumi, Mb adalah massa benda lain dan r adalah jarak antara pusat bumi dan pusat benda lain.

Setelah membuat penalaran mengenai hubungan antara besar gaya gravitasi dengan massa dan jarak, eyang Newton membuat penalaran baru berkaitan dengan gerakan planet yang selalu berada pada orbitnya ketika mengitari matahari. Eyang menyatakan bahwa jika planet-planet selalu berada pada orbitnya, maka pasti ada gaya gravitasi yang bekerja antara matahari dan planet serta gaya gravitasi antara planet, sehingga benda langit tersebut tetap berada pada orbitnya masing-masing. Luar biasa pemikiran eyang Newton ini. Tidak puas dengan penalarannya di atas, ia menyatakan bahwa jika gaya gravitasi bekerja antara bumi dan benda-benda di permukaan bumi, serta antara matahari dan planet-planet maka mengapa gaya gravitasi tidak bekerja pada semua benda ?

Akhirnya, setelah bertele-tele dan terseok-seok, kita tiba pada inti pembahasan panjang lebar ini. Eyang Newton pun mencetuskan Hukum Gravitasi Universal dan mengumumkannya pada tahun 1687, hukum yang sangat terkenal dan berlaku baik di indonesia, amerika atau afrika bahkan di seluruh penjuru alam semesta. Hukum gravitasi Universal itu berbunyi demikian :

Semua benda di alam semesta menarik semua benda lain dengan gaya sebanding dengan hasil kali massa benda-benda tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara benda-benda tersebut.

Secara matematis, besar gaya gravitasi antara partikel dapat ditulis sbb :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-e.jpg

Fg adalah besar gaya gravitasi pada salah satu partikel, m1 dan m2 adalah massa kedua partikel, r adalah jarak antara kedua partikel.

G adalah konstanta universal yang diperoleh dari hasil pengukuran secara eksperimen. 100 tahun setelah eyang Newton mencetuskan hukum Gravitasi Universal, pada tahun 1978, Henry Cavendish berhasil mengukur gaya yang sangat kecil antara dua benda, mirip seperti dua bola. Melalui pengukuran tersebut, Henry membuktikan dengan sangat tepat persamaan Hukum Gravitasi Universal di atas. Perbaikan penting dibuat oleh Poyting dan Boys pada abad kesembilan belas. Nilai G yang diakui sekarang = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2

Contoh soal 1 :

Seorang guru fisika sedang duduk di depan kelas dan seorang murid sedang duduk di bagian belakang ruangan kelas. Massa guru tersebut adalah 60 kg dan massa siswa 70 kg (siswa gendut). Jika pusat mereka (yang dimakudkan di sini bukan pusat yang terletak di depan perut manusia) berjarak 10 meter, berapa besar gaya gravitasi yang diberikan oleh guru dan murid satu sama lain ?

Panduan jawaban :

Gampang, tinggal dimasukkan aja nilai-nilai telah diketahui ke dalam persamaan Hukum Newton tentang Gravitasi

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-f.jpg

Ya, gayanya sangat kecil…

Contoh soal 2 :

Diketahui massa bulan 7,35 x 1022 kg, massa bumi 5,98 x 1024 kg dan massa matahari adalah 1,99 x 1030 kg. Hitunglah gaya total di bulan yang disebabkan oleh gaya gravitasi bumi dan matahari. Anggap saja posisi bulan, bumi dan matahari membentuk segitiga siku-siku. Oya, jarak bumi-bulan 3,84 x 108 m dan jarak matahari-bulan 1,50 x 108 km (1,50 x 1011 m).

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-g.jpg

Keterangan Gambar :

b = bulan, B = bumi dan M = matahari

Panduan jawaban :

Gaya total yang bekerja pada bulan akibat gravitasi matahari dan bumi kita hitung menggunakan vektor. Sebelumnya, terlebih dahulu kita hitung besar gaya gravitasi antara bumi-bulan dan matahari-bulan.

Besar gaya gravitasi antara bumi-bulan :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-h.jpg

Besar gaya gravitasi antara matahari-bulan.

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-i.jpg

Besar gaya total yang dialami bulan dapat dihitung sebagai berikut :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-j.jpg

Gaya total yang dimaksud di sini tidak sama dengan gaya total pada Hukum II Newton. Hukum gravitasi berbeda dengan Hukum II Newton. Hukum Gravitasi menjelaskan gaya gravitasi dan besarnya yang selalu berbeda tergantung dari jarak dan massa benda yang terlibat. Hukum II Newton menghubungkan gaya total yang bekerja pada sebuah benda dengan massa dan percepatan benda tersebut. Dipahami ya perbedaannya….

Kuat Medan Gravitasi dan Percepatan Gravitasi

Pada pembahasan mengenai Hukum Newton tentang Gravitasi, kita telah meninjau gaya gravitasi sebagai interaksi gaya antara dua atau lebih partikel bermassa. Partikel-partikel tersebut dapat saling berinteraksi walaupun tidak bersentuhan. Pandangan lain mengenai gravitasi adalah konsep medan, di mana sebuah benda bermassa mengubah ruang di sekitarnya dan menimbulkan medan gravitasi. Medan ini bekerja pada semua partikel bermassa yang berada di dalam medan tersebut dengan menimbulkan gaya tarik gravitasi. Jika sebuah benda berada di dekat bumi, maka terdapat sebuah gaya yang dikerjakan pada benda tersebut. Gaya ini mempunyai besar dan arah di setiap titik pada ruang di sekitar bumi. Arahnya menuju pusat bumi dan besarnya adalah mg.

Jadi jika sebuah benda terletak di setiap titik di dekat bumi, maka pada benda tersebut bekerja sebuah vektor g yang sama dengan percepatan yang akan dialami apabila benda itu dilepaskan. Vektor g tersebut dinamakan kekuatan medan gravitasi. Secara matematis, besar g dinyatakan sebagai berikut :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-k.jpg

Berdasarkan persamaan di atas, kita dapat mengatakan bahwa kekuatan medan gravitasi di setiap titik merupakan gaya gravitasi yang bekerja pada setiap satuan massa di titik tersebut.

Gravitasi di Sekitar Permukaan Bumi

Pada awal tulisan ini, kita telah mempelajari Hukum gravitasi Newton dan menurunkan persamaan gravitasi Universal. Sekarang kita mencoba menerapkannya pada gaya gravitasi antara bumi dan benda-benda yang terletak di permukaannya. Kita tulis kembali persamaan gravitasi universal untuk membantu kita dalam menganalisis :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-l.jpg

Untuk persoalan gravitasi yang bekerja antara bumi dan benda-benda yang terletak di permukaan bumi, m1 pada persamaan di atas adalah massa bumi (mB), m2 adalah massa benda (m), dan r adalah jarak benda dari permukaan bumi, yang merupakan jari-jari bumi (rB). Gaya gravitasi yang bekerja pada bumi merupakan berat benda, mg. Dengan demikian, persamaan di atas kita ubah menjadi :

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-m.jpg

Berdasarkan persamaan ini, dapat diketahui bahwa percepatan gravitasi pada permukaan bumi alias g ditentukan oleh massa bumi (mB) dan jari-jari bumi (rB)

G:\Lenna\New Folder\hukum-newton-tentang-gravitasi_files\hukum-gravitasi-newton-n.jpg

G dan g merupkan dua hal yang berbeda. g adalah percepatan gravitasi, sedangkan G adalah konstanta universal yang diperoleh dari hasil pengukuran. Setelah G ditemukan, manusia baru bisa mengetahui massa bumi lewat perhitungan menggunakan persamaan ini. Hal ini bisa dilakukan karena telah diketahui konstanta universal, percepatan gravitasi dan jari-jari bumi.

Ini adalah persamaan percepatan gravitasi efektiv. Jika ditanyakan percepatan gravitasi pada ketinggian tertentu di dekat permukaan bumi, maka kita dapat menggunakan persamaan ini. Jika kita menghitung berat benda yang terletak di permukaan bumi, kita menggunakan mg.

Referensi :

Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga

Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I, Terjemahan, Jakarta : Penerbit Erlangga

Kanginan, Marthen, 2002, Fisika untuk SMA kelas X, Semester 1, Jakarta : Penerbit Erlangga

Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik-Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penebit Erlangga

Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., 2002, Fisika Universitas (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga

BAB VI

Hukum Kepler

Pengantar

Sebelum kita mempelajari hukum Kepler secara lebih mendalam, terlebih dahulu kita kenang kembali kisah masa lalu yang mengantar Paman Kepler merumuskan hukumnya yang terkenal sampai di seluruh pelosok negeri, bahkan sampai ke seluruh penjuru ruangan kelas XI IPA. Tulisan ini juga menyinggung masa lalu ilmu astronomi, sebuah kisah perkembangan ilmu pengetahuan yang selalu menuai pertentangan di tahap awal perkembangannya.

Sejarah Panjang

Awal perkembangan ilmu astronomi modern dimulai oleh Purbach (1423-1461) di universitas Wina serta lebih khusus lagi oleh muridnya Yohanes muller (1436-1476). Johanes Muller pergi ke Italia khusus untuk belajar karya asli Ptolemeus tentang astronomi bersama temannya Walther (1430-1504). Walther adalah seorang yang kaya, ia memiliki observatorium pribadi, serta mesin percetakan pribadi. Muller bersama Walther

membuat penanggalan berdasarkan benda-benda langit yang banyak dipakai oleh para pelaut Spanyol dan Portugis. Muller kemudian pergi ke Roma untuk melakukan pembaruan kalender di sana, akan tetapi ia meninggal sebelum dapat melaksanakan niatnya. Pengamatan muller dilanjutkan oleh temannya, Walther dan Albrecht Durer. Maka, ketika Nicolas Copernicus (1473-1543) memulai karyanya, telah terdapat cukup banyak karya hasil pengamatan astronomi.

Sistem Copernicus yang baru tentang alam semesta menempatkan matahari sebagai pusat alam semesta, serta terdapat tiga jenis gerakan bumi. Tiga jenis gerakan bumi itu adalah gerak rotasi bumi (perputaran bumi pada porosnya), gerak revolusi (gerak bumi mengelilingi matahari) dan suatu girasi perputaran sumbu bumi yang mempertahankan waktu siang dan malam sama panjangnya. Teori Copernicus tersebut ditulis tangan dan diedarkan di antara kawan-kawannya pada tahun 1530.

Teori Copernicus menjadi semakin terkenal dan menarik perhatian seorang ahli matematika dari wittenberg bernama George Rheticus (1514-1576). Rheticus kemudian belajar bersama Copernicus dan pada tahun 1540 menerbitkan buku tentang teori Copernicus. Akhirnya Copernicus menerbitkan hasil karyanya sendiri pada tahun 1543 berjudul On the Revolutions Of the Celestial Orbs.

Buku copernicus dicetak di Nuremberg, pada awalnya di bawah supervisi Rheticus, kemudian dilanjutkan di bawah supervisi Andreas Osiander, seorang pastor Lutheran. Osiander menambahkan kata pengantar untuk karya Copernicus dengan menyatakan bahwa teori yang baru itu tidak harus benar, dan dapat dipandang semata-mata sebagai suatu kecocokan metode matematis tentang benda-benda langit. Copernicus sendiri tidak berpendapat begitu. Ia berpendapat bahwa sistem semesta yang dikemukakannya adalah nyata.

Copernicus berpendapat bahwa sistem yang dikemukakan oleh ptolemous ‘tidak cukup tepat, tidak cukup memuaskan pikiran’, karena ptolemous beranjak langsung dari karya kelompok Pythagoras. Untuk menjelaskan gerakan benda-benda langit, ptolemous menganggap bahwa benda-benda langit itu bergerak melingkar dengan kecepatan angular yang tidak sama relatif terhadap pusatnya, kecepatan anguler itu hanya sama terhadap titik di luar pusat lingkaran itu. Menurut copernicus, asumsi itu merupakan kesalahan pokok dari sistem ptolemous. Akan tetapi hal ini bukan hal pokok yang dikemukakan oleh copernicus. Kritik utama yang dikemukakan oleh copernicus kepada para ahli astronomi pendahulunya adalah, dengan menggunakan aksioma-aksiomanya, mereka telah gagal menjelaskan gerakan benda-benda langit yang teramati dan juga teori-teori yang mereka kembangkan melibatkan sistem yang rumit yang tidak perlu. Copernicus menilai para pendahulunya dengan mengatakan : “di dalam metode yang dikembangkan, mereka telah mengabaikan hal-hal penting atau menambahkan hal-hal yang tidak perlu”.

Copernicus memusatkan perhatian pada hal yang terakhir. Ia melihat bahwa para leluhurnya telah menambahkan tiga gerakan bumi untuk setiap benda langit agar sampai pada kesimpulan bahwa bumi berada diam di pusat putaran. Ketiga lingkaran tersebut telah ditambahkan untuk setiap benda langit di dalam sistem geometris bangsa Yunani untuk menjelaskan gerakan benda-benda langit dengan bumi sebagai pusatnya.

Copernicus berpendapat bahwa lingkaran-lingkaran tersebut tidak diperlukan dengan berpendapat bahwa bumi berputar pada sumbuhnya setiap hari dan bergerak melintasi orbitnya mengitari matahari setiap tahun. Dengan cara demikian, Copernicus mengurangi jumlah lingkaran yang diperlukan untuk menjelaskan gerakan benda-benda langit.

Dengan sistem yang dikemukakannya itu, Copernicus memberikan jawaban yang paling sederhana untuk menjawab pertanyaan yang diajukan bangsa Yunani tentang bagaimana menjelaskan gerakan benda-benda langit dalam suatu gerakan yang melingkar dan seragam. Tidak ada hal yang baru dalam metode tersebut, hal itu telah dipergunakan oleh para astronom sejak jaman Pythagoras. Dengan menggunakan konsepsi yang dipakai oleh Pythagoras, ia mencampakkan sistem yang dikembangkan oleh bangsa yunani. Akan tetapi, ada satu konsep yang tidak dipakainya, yaitu bahwa benda-benda langit adalah mulia.

Di dalam sistem Copernicus, bumi berputar mengitari matahari, seperti planet-planet lainnya. Bumi menjalani gerakan yang seragam dan melingkar sebagai benda langit, suatu gerakan yang sejak lama diyakini sebagai gerakan yang sempurna. Lebih jauh, copernicus menekankan kesamaan antara bumi dengan benda-benda langit lainnya bahwa semuanya memiliki gravitasi. Gravitasi ini tidak berada di langit, melainkan bekerja pada materi, seperti bumi dan benda-benda langit memiliki gaya ikat dan mempertahankannya dalam suatu lingkaran yang sempurna. Untuk hal ini penjelasan copernicus agak berbau teologis : “menurut saya gravitasi tidak lain daripada suatu kekuatan alam yang diciptakan oleh pencipta agar supaya semuanya berada dalam kesatuan dan keutuhan. Kekuatan seperti itu mungkin juga dimiliki oleh matahari, bulan dan planet-planet agar semuanya tetap bundar”

Sistem copernicus lebih bagus dan lebih sederhana daripada sistem ptolomeus. Di dalam sistem lama, benda-benda langit memiliki baik gerakan timur-barat maupun rotasi pada arah yang berlawanan. Dalam sistem copernicus, bumi dan semua planet bergerak mengitari matahari dengan arah yang sama dan laju yang berkurang semakin jauh dari matahari. Sementara itu, matahari yang berada di pusat dan bintang-bintang yang berada di luar tatasurya berada pada tempatnya yang tetap. Sekarang dapat dijelaskan mengapa planet-planet kelihatan mendekati dan menjahui bumi. Planet-planet itu pada suatu saat berada pada satu sisi yang sama dengan bumi, tetapi pada saat yang lain berada pada sisi yang berseberangan

Dengan sistem Copernicus, perhitungan astronomi dibuat menjadi lebih mudah, karena melibatkan jumlah lingkaran yang lebih sedikit. Tetapi prakiraan posisi planet-planet dan perhitungan lainnya tidak lebih tepat daripada dihitung dengan menggunakan sistem ptolemous, keduanya masih memiliki kesalahan sekitar satu persen. Selanjutnya terdapat keberatan-keberatan terhadap sistem Copernicus. Pertama, dan mungkin tidak terlalu serius ketika itu, adalah kenyataan bahwa pusat tata surya tidak tepat berada pada matahari. Copernicus menempatkan pusat tatasurya pada pusat orbit bumi, yang tidak persis berada pada matahari, untuk menjelaskan perbedaan panjang musim-musim. Beberapa filsuf berpendapat bahwa pusat tata surya haruslah berada pada suatu obyek nyata, meskipun banyak juga yang menerima bahwa titik geometris dapat dipakai sebagai pusat tatasurya. Selanjutnya, para pendukung aristoteles berpendapat bahwa gravitasi bekerja ke arah titik geometris tersebut, sebagai pusat tatasurya, yang tidak harus sama dengan pusat bumi.

Keberatan kedua, yang lebih serius, menyatakan bahwa bila bumi berputar, maka udara cenderung tertinggal di belakang, hal ini akan menimbulkan angin yang arahnya ke timur. Copernicus memberikan dua jawaban untuk keberatan timur. Pertama, yang merupakan suatu jenis penjelasan abad pertengahan, yaitu udara berputar bersama-sama dengan bumi karena udara berisi partikel-partikel bumi yang memiliki sifat-sifat yang sama dengan bumi. Maka bumi menarik udara berputar bersama-sama dengan bumi karena udara bersisi partikel-partikel bumi. Maka bumi menarik udara berputar dengan bumi. Jawaban kedua yang bersifat modern, udara berputar tanpa hambatan karena udara berdampingan dengan bumi yang terus menerus berputar. Keberatan yang sama adalah apabila sebuah batu dilemparkan ke atas maka batu itu akan tertinggal oleh bumi yang berputar, sehingga kalau batu itu jatuh akan berada di sebelah barat proyeksi batu itu. Untuk keberatan ini, copernicus menjawab ‘karena benda-benda yang ditarik ke tanah oleh beratnya adalah terbuat dari tanah, maka tidak diragukan bahwa benda-benda itu memiliki sifat yang sama dengan bumi secara keseluruhan, sehingga berputar bersama-sama dengan bumi’

Keberatan lebih jauh terhadap sistem copernicus adalah bila bumi berputar, maka bumi akan hancur berkeping-keping oleh gaya sentrifugal. Copernicus menjawab bahwa bila bumi tidak berputar maka bola yang lebih besar yang ditempati oleh bintang-bintang pasti bergerak dengan kecepatan yang sangat besar dan lebih rentan oleh pengaruh gaya sentrifugal.

Nampaknya copernicus tidak menerima teori aristoteles juga tidak menerima teori adanya gaya dorong. Copernicus berpendapat bahwa spin dan gerakan dalam suatu lingkaran adalah gerakan-gerakan yang spontan, merupakan sifat alami dari suatu bentuk bola dimana bumi dan benda-benda langit ada. Oleh karena itu, copernicus tidak menggunakan hirarki para malaikat untuk menggerakan benda-benda langit, yaitu malaikat yang lebih berkuasa menggerakan benda yang lebih tinggi hirarkinya. Menurut copernicus benda-benda langit bergerak secara spontan.

Maka bersama copernicus muncul suatu sistem cosmos yang betul-betul baru. Penggerak alam semesta tidak lagi penting. Matahari sebagai pusat tatasurya menjadi pengatur alam semesta.

Terdapat figur perantara di antara pendukung aristoteles yang mendukung adanya penggerak alam semesta dan copernicus yang menyatakan matahari sebagai pusat tatasurya yaitu nicolas Cusa.

Kiranya dapat dikatakan bahwa copernicus berusaha mempromosikan suatu nilai baru dengan sistem yang dikemukakannya. Karena apabila ia sekedar ingin mengembangkan suatu sistem yang lebih sederhana, terdapat suatu sistem yang dipakai oleh tycho brahe (1546-1601). Di dalam sistem itu planet-planet berputar mengelilingi matahari, sementara itu matahari bersama-sama dengan planet-planet yang mengelilinginya sebagai satu kesatuan, berputar mengelilingi bumi yang diam yang berada pada pusat semesta. Sistem itu secara matematis ekuivalen dengan sistem copernicus, dan juga sistem itu tidak menimbulkan persoalan fisis. Tetapi sistem itu tetap mempertahankan nilai-nilai lama dalam sistem cosmos yaitu bumi sebagai pusat alam semesta. Itulah mungkin sebabnya copernicus mengajukan suatu sistem baru, heliosentris.

Dalam seluruh hidupnya, Copenicus menganut pandangan bangsa yunani bahwa gerakan benda-benda langit adalah melingkar dengan kecepatan tetap, maka meskipun sistem yang dibuat copernicus lebih sederhana dibandingkan dengan sistem ptolomeus, tetapi tetap rumit dibandingkan dengan sistem Kepler (1571-1630). Copernicus menjelaskan gerakan benda-benda langit dengan menggunakan tiga puluh empat lingkaran, sementara itu kepler hanya menggunakan tujuh elips. Seperti dikatakan oleh kepler, copernicus tidak menyadari akan adanya suatu bangunan yang sangat baik yang ada dalam genggamannya.

Copernicus mengetahui bahwa gabungan beberapa lingkaran dapat menghasilkan elips, akan tetapi ia tidak pernah menggunakan elips untuk menggambarkan benda-benda langit. Lagipula, pada tahap-tahap awal, copernicus sangat menghargai hasil observasi bangsa kuno. Copernicus menentang werner yang menyatakan bahwa hasil-hasil pengamatan terakhir lebih cocok dengan sistem ptolemous daripada dengan sistem copernicus. Kenyataannya memang tiga kali lebih tepat.

Pengamatan paling penting dalam bidang astronomi modern adalah yang dilakukan oleh Ticho Brahe. Hasil pengamatan Ticho Brahe limapuluh kali lebih tepat dari hasil muller, hasil terbaik yang dapat dilakukan dengan mata telanjang. Tycho Brahe adalah orang Denmark terhormat. Raja Frederick II dari Denmark memberi tempat tinggal dan pulau Hveen untuk melakukan kegiatan astronominya. Di pulau itu Tycho Brahe membangun kastil, bengkel, percetakan pribadi, dan observatorium. Ia bekerja di pulau itu dari tahun 1576 sampai 1597. Ia berpendapat bahwa adalah tidak mungkin melakukan pengamatan tanpa panduan suatu teori. Ia menganut pendangan geosentris.

Ketika raja Frederick II wafat, fasilitas yang diterima Tycho Brahe tidak diperpanjang, kemudian Ticho Brahe pergi ke Praha pada tahun 1599, di mana ia mendapat tunjangan dari raja Rudolph II. Tahun-tahun berikutnya ia bergabung dengan astronom jerman, Johann Kepler, seorang matematikawan. Kepler adalah anak seorang tentara wurtemburg. Ia mempelajari sistem copernicus di Tubingen. Kerja sama antara Kepler dengan Ticho Brahe tidak berlangsung lama karena Ticho Brahe meninggal dunia. Setelah Ticho Brahe meninggal, Kepler tetap tinggal di Praha.

Karya pertama Kepler dalam bidang astronomi berjudul The Mysteri of the Universe yang diterbitkan pada tahun 1596. Di dalam buku itu, ia berusaha mencari suatu keselarasan antara orbit-orbit planet menurut copernicus dengan hasil pengamatan Ticho Brahe. Akan tetapi Kepler tidak berhasil menemukan keselarasan antara sistem-sistem yang dikembangkan oleh Copernicus maupun Ptolemous dengan hasil pengamatan Tycho Brahe. Oleh karena itu ia meninggalkan sistem ptolemous dan Copernicus lalu berusaha mencari sistem baru. Pada tahun 1609, Kepler menemukan ternyata elips sangat cocok dengan hasil pengamatan Ticho Brahe. Kepler tidak lagi menggunakan lingkaran sebagai lintasan benda-benda langit melainkan elips.

HUKUM KEPLER

Karya Kepler sebagian dihasilkan dari data-data hasil pengamatan yang dikumpulkan Ticho Brahe mengenai posisi planet-planet dalam geraknya di luar angkasa. Hukum ini telah dicetuskan Kepler setengah abad sebelum Newton mengajukan ketiga Hukum-nya tentang gerak dan hukum gravitasi universal. Di antara hasil karya Kepler, terdapat tiga penemuan yang sekarang kita kenal sebagai Hukum Kepler mengenai gerak planet.

Hukum I Kepler

Lintasan setiap planet ketika mengelilingi matahari berbentuk elips, di mana matahari terletak pada salah satu fokusnya.

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-a.jpg

Kepler tidak mengetahui alasan mengapa planet bergerak dengan cara demikian. Ketika mulai tertarik dengan gerak planet-planet, Newton menemukan bahwa ternyata hukum-hukum Kepler ini bisa diturunkan secara matematis dari hukum gravitasi universal dan hukum gerak Newton. Newton juga menunjukkan bahwa di antara kemungkinan yang masuk akal mengenai hukum gravitasi, hanya satu yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang konsisten dengan Hukum Kepler.

Perhatikan orbit elips yang dijelaskan pada Hukum I Kepler. Dimensi paling panjang pada orbit elips disebut sumbu mayor alias sumbu utama, dengan setengah panjang a. Setengah panjang ini disebut sumbu semiutama alias semimayor (sambil lihat gambar di bawah ya).

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-b.jpg

F1 dan F2 adalah titik Fokus. Matahari berada pada F1 dan planet berada pada P. Tidak ada benda langit lainnya pada F2. Total jarak dari F1 ke P dan F2 ke P sama untuk semua titik dalam kurva elips. Jarak pusat elips (O) dan titik fokus (F1 dan F2) adalah ea, di mana e merupakan angka tak berdimensi yang besarnya berkisar antara 0 sampai 1, disebut juga eksentrisitas. Jika e = 0 maka elips berubah menjadi lingkaran. Kenyataanya, orbit planet berbentuk elips alias mendekati lingkaran. Dengan demikian besar eksentrisitas tidak pernah bernilai nol. Nilai e untuk orbit planet bumi adalah 0,017. Perihelion merupakan titik yang terdekat dengan matahari, sedangkan titik terjauh adalah aphelion.

Pada Persamaan Hukum Gravitasi Newton, telah kita pelajari bahwa gaya tarik gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak (1/r2), di mana hal ini hanya bisa terjadi pada orbit yang berbentuk elips atau lingkaran saja.

Contoh soal Hukum I Kepler :

Komet Halley bergerak sepanjang orbit elips mengitari matahari. Pada perihelion, komet Halley berjarak 8,75 x107 km dari matahari, sedangkan pada aphelion berjarak 5,26 x 109 km dari matahari. Berapakah eksentrisitas dari orbit komet halley

Panduan jawaban :

Panjang sumbu utama sama dengan total jarak komet ke matahari ketika komet berada di perihelion dan aphelion.

Panjang sumbu utama adalah 2a, dengan demikian :

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-c.jpg

Pada Perihelion, jarak komet Halley dengan matahari diperoleh dari (sambil perhatikan gambar di atas) :

a – ea = a(1-e)

Jarak komet Halley dengan matahari ketika komet Halley berada pada perihelion adalah 8,75 x107 km. Dengan demikian, eksentrisitas komet Halley adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-d.jpg

Nilai eksentrisitas komet halley mendekati 1. Ini menunjukkan bahwa orbit halley sangat panjang….

Hukum II Kepler

Luas daerah yang disapu oleh garis antara matahari dengan planet adalah sama untuk setiap periode waktu yang sama.

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-e.jpg

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-f.jpg

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-g.jpg

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-h.jpg

Hal yang paling utama dalam Hukum II Kepler adalah kecepatan sektor mempunyai harga yang sama pada semua titik sepanjang orbit yang berbentuk elips.

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-k.jpg

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-j1.jpg



Hukum III Kepler

Kuadrat waktu yang diperlukan oleh planet untuk menyelesaikan satu kali orbit sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet-planet tersebut dari matahari.

Jika T1 dan T2 menyatakan periode dua planet, dan r1 dan r2 menyatakan jarak rata-rata mereka dari matahari, maka

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-l2.jpg

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-m.jpg

Newton menunjukkan bahwa Hukum III Kepler juga bisa diturunkan secara matematis dari Hukum Gravitasi Universal dan Hukum Newton tentang gerak dan gerak melingkar. Sekarang mari kita tinjau Hukum III Kepler menggunakan pendekatan Newton.

Terlebih dahulu kita tinjau kasus khusus orbit lingkaran, yang merupakan kasus khusus dari orbit elips. Semoga dirimu belum melupakan Hukum Newton dan pelajaran Gerak Melingkar…

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-n.jpg

Sekarang kita masukan persamaan Hukum Gravitasi Newton dan percepatan sentripetal ke dalam persamaan Hukum II Newton :

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-o.jpg

m1 adalah massa planet, mM adalah massa matahari, r1 adalah jarak rata-rata planet dari matahari, v1 merupakan laju rata-rata planet pada orbitnya.

Waktu yang diperlukan sebuah planet untuk menyelesaikan satu orbit adalah T1, di mana jarak tempuhnya sama dengan keliling lingkaran, 2 phi r1. Dengan demikian, besar v1 adalah :

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-p.jpg

Misalnya persamaan 1 kita turunkan untuk planet venus (planet 1). Penurunan persamaan yang sama dapat digunakan untuk planet bumi (planet kedua).

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-q.jpg

T2 dan r2 adalah periode dan jari-jari orbit planet kedua. Sekarang coba anda perhatikan persamaan 1 dan persamaan 2. Perhatikan bahwa ruas kanan kedua persamaan memiliki nilai yang sama. Dengan demikian, jika kedua persamaan ini digabungkan, akan kita peroleh :

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-r.jpg

Persamaan ini adalah Hukum III Kepler… :)

Kita juga bisa menurunkan persamaaan untuk menghitung besarnya periode gerak planet (T) dengan cara lain. Pertama terlebih dahulu kita turunkan untuk kasus gerak melingkar.

Sebelumnya kita telah mensubtitusikan persamaan Hukum Gravitasi Newton dan percepatan sentripetal ke dalam persamaan Hukum II Newton :

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-s.jpg

Pada pembahasan mengenai gerak melingkar beraturan, kita mempelajari bahwa laju v adalah perbandingan jarak tempuh dalam satu kali putaran (2phir) dengan periode (waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu kali putaran), yang secara matematis dirumuskan sebagai berikut :

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-t.jpg

Pada persamaan ini tampak bahwa periode dalam orbit lingkaran sebanding dengan pangkat 3/2 dari jari-jari orbit. Newton menunjukkan bahwa hubungan ini juga berlaku untuk orbit elips, di mana jari-jari orbit lingkaran (r) diganti dengan setengah sumbu utama a

G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-u.jpg

DATA ASTRONOMI
G:\Lenna\New Folder\hukum-kepler_files\hukum-kepler-v.jpg

Referensi :

Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga

Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I, Terjemahan, Jakarta : Penerbit Erlangga

Kanginan, Marthen, 2002, Fisika untuk SMA kelas X, Semester 1, Jakarta : Penerbit Erlangga

Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik-Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penebit Erlangga

Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., 2002, Fisika Universitas (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga

SUMBER : WWW.GURUMUDA.COM

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar