Dinamika Rotasi

A. BENDA TEGAR

Benda tegar adalah benda yang tidak mengalami perubahan bentuk bila gaya dikerjakan pada benda tersebut.

F

1.KESEIMBANGAN BENDA TEGAR.

Sebuah benda tegar berada dalam keseimbangan mekanis bila dilihat dari suatu kerangka acuan inersial, jika :

a. percepatan linear pusat massanya sama dengan nol, a_pm = 0.

b. percepatan sudutnya sama dengan nol, a = 0.

Untuk v_pm = 0 dan w = 0 disebut keseimbangan statik.

Bila a_pm = 0, maka F_eks = 0. Untuk gaya-gaya dalam ruang ( 3 dimensi) diperoleh :

F_1x + F_2x + ... + F_nx = 0 atau å F_x = 0

F_1y + F_2y + ... + F_ny = 0 atau å F_y = 0

F_1z + F_2z + ... + F_nz = 0 atau å F_z = 0

Bila a = 0, maka t_eks = 0 dan diperoleh

t_1x + t_2x + ... + t_nx = 0 atau åt_x = 0

t_1y + t_2y + ... + t_ny = 0 atau åt_y = 0

t_1z + t_2z + ... + t_nz = 0 atau åt_z = 0

Dalam kasus tertentu dimana gaya-gaya hanya terletak pada satu bidang, (misalkan bidang xy) diperoleh :

F_1x + F_2x + ... + F_nx = 0 atau å F_x = 0

F_1y + F_2y + ... + F_ny = 0 atau å F_y = 0

t_1z + t_2z + ... + t_nz = 0 atau åt_z = 0

åt_z = 0 ini terhadap sembarang titik pada benda tegar tersebut.

F₁

F₂

r₁

O

Torsi terhadap titik O adalah :

to = (r₁ x F₁) + (r₂ x F₂) + ... + (r_n x F_n)

Torsi terhadap titik O’ adalah :

to’ = (r₁- r’) x F₁+ (r₂ - r’) x F₂ + ... + (r_n - r’) x F_n

to’ = {(r₁ x F₁) + (r₂ x F₂) + ... + (r_n x F_n) } – r’ x (F₁+ F₂ + … + F_n)

Jika sistem dalam keadaan seimbang, S F = 0 maka

to = to’

Torsi terhadap titik sembarang adalah sama.

2. PUSAT GRAVITASI

Bila kita perhatikan benda tegar, salah satu gaya yang perlu diperhatikan adalah berat benda, yaitu gaya gravitasi yang bekerja pada benda tersebut. Untuk menghitung torsi dari gaya berat tersebut, gaya berat dapat dipertimbangkan terkonsentrasi pada sebuah titik yang disebut pusat gravitasi.

Perhatikan benda berbentuk sembarang pada bidang xy. Benda kita bagi-bagi menjadi partikel-partikel dengan massa m₁, m₂, …yang mempunyai koordinat (x₁, y₁) , (x₂, y₂) ,…pusat massanya dapat dinyatakan sebagai

m₁x₁ + m₂x₂ + m₃x₃ + …

m₁ + m₂ + m₃ + …

y

m₁g

pg m₂g

x

W = Mg

Setiap partikel memberikan kontribusi torsi terhadap titik pusat dan ini sama dengan torsi yang ditimbulkan oleh gaya tunggal, yaitu gaya berat dikalikan dengan lengan gayanya. Titik dimana gaya berat bekerja disebut pusat gravitasi.

(m₁g₁ + m₂g₂ + m₃g₃ + …) x_pg = m₁g₁x₁ + m₂g₂x₂ + m₃g₃x₃ + …

Bila diasumsikan g homogen maka, pusat gravitasi :

m₁x₁ + m₂x₂ + m₃x₃ + …

m₁ + m₂ + m₃ + …

Bila gravitasi homogen, pusat gravitasi berimpit dengan pusat massa.

B. GERAK ROTASI

Sebuah benda tegar bergerak rotasi murni jika setiap partikel pada benda tersebut bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus yang disebut sumbu rotasi.

C. KECEPATAN SUDUT DAN PERCEPATAN SUDUT

y

P

r

q

O x

Gambar di atas memperlihatkan sebuah benda pejal yang melakukan gerak rotasi murni dengan sumbu tetap (sumbu z) yang tegak lurus bidang xy. Setiap partikel mengalami gerak rotasi terhadap titik O. Oleh karena itu untuk menyatakan posisi titik P lebih baik digunakan kordinat polar (r,q). Dalam keadaan ini, r tetap konstan dan yang berubah adalah q.

Bila partikel bergerak dari q = 0 rad ke titik P partkel telah menempuh lintasan sejauh panjang busur s, dimana :

s = r q

atau q = s/r

dimana q dalam radian ( 2p rad = 360^o atau 1 rad » 57,3^o )

Q t₂

P t₁

Partkel bergerak dari P ke Q dalam selang waktu Dt (= t₂ - t₁) telang menyapu sudut Dq (=q₂ - q₁), maka kecepatan sudut rata-rata partikel adalah :

q₂ - q₁ Dq

t₂ - t₁ Dt

kecepatan sudut sesaat adalah

w = lim Dq/ Dt = dq/dt

Dt®0

Catatan : setiap partikel pada benda tersebut akan mempunyai kecepatan sudut yang sama.

Jika kecepatan sudut sesaat dari benda tersebut berubah dari w₁ ke w₂ dalam selang waktu Dt, maka percepatan sudut rata-rata dari benda tersebut adalah

w₂ - w₁ Dw

t₂ - t₁ Dt

dan percepatan sudut sesaatnya adalah :

a = lim Dw/ Dt = dw/dt

Dt®0

Untuk rotasi dengan sumbu tetap, setiap patikel pada benda pejal tersebut mempunyai kecepatan sudut yang sama dan percepatan sudut yang sama. Jadi w dan a merupakan karakteristik keseluruhan benda pejal tersebut.

Arah dari w dapat dicari dengan aturan arah maju sekrup putar kanan. dan arah a sama dengan arah dw/dt yang sama dengan arah w bila dipercepat dan berlawanan dengan arah w bila diperlambat.

A. GERAK ROTASI DENGAN PERCEPATAN SUDUT KONSTAN.

Untuk mendapatkan persamaan gerak rotasi, kita mengambil langsung persamaan gerak yang sudah diperoleh pada gerak translasi :

(1). w = w_o + at

(2). q = q_o + 1/2 (w + w_o )t

(3). q = q_o + w_ot + 1/2a t²

(4). w² = w_o² + 2a (q - q_o)

B. HUBUNGAN ANTARA KINEMATIKA LINEAR DAN KINEMATIKA ROTASI DARI PARTIKEL YANG BERGERAK MELINGKAR.

Panjang lintasan yang telah ditempuh partikel adalah s dan sudut yang telah disapu q. Jari-jari lintasan partikel adalah r yang berharga konstan.

s = q r

bila dideferensialkan terhadap t, diperoleh :

ds/dt = dq/dt . r

Kecepatan linear partikel : v = w r

bila dideferensialkan sekali lagi terhadap t :

dv/dt = dw/dt . r

Percepatan tangensial partkel : a_t = a r

Pada saat tersebut partikel bergerak melingkar maka partikel juga mendapat percepatan centripetal (radial)

a_t

a

a_r

a_r = v²/r

a_r = w²r

Percepatan total partikel : a = Ö a_r²+ a_t²

C. TORSI PADA SEBUAH PARTIKEL.

y

F

F sinq

q

r

x

r sinq

Torsi oleh gaya F pada sebuah partikel didefinisikan t = r x F

Besarnya torsi

t = r F sinq

rumusan ini dapat diubah menjadi

t = r (F sinq) = r F_^

atau t = F (r sinq) = F r_^

dimana F_^ adalah : komponen F yang tegak lurus r dan

r_^ adalah : komponen r yang tegak lurus F

D. MOMENTUM SUDUT PADA SEBUAH PARTIKEL

y

p

p sinq

q

r

x

r sinq

Momentum sudut pada sebuah partikel didefinisikan l = r x p,

dengan p = mv

Besarnya momentum sudut

l = r p sin q

rumusan ini dapat diubah menjadi

l = r (p sinq) = r p_^

atau l = p (r sinq) = p r_^

dimana p_^ adalah : komponen p yang tegak lurus r dan

r_^ adalah : komponen r yang tegak lurus p

Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila dideferensialkan doperoleh :

dl/dt = d (r x p)/dt

dl/dt = (r x dp/dt) + (dr/dt x p)

dl/dt = (r x F) + (v x mv)

diperoleh

dl/dt = t dp/dt = f

“Laju perubahan momentum sudut terhadap waktu sebesar torsi yang bekerja pada partikel tersebut”

H. TENAGA KINETIK ROTASI dan KELEMBAMAN ROTASI

Sebuah benda melakukan gerak rotasi terhadap sumbu tetap. Bila kita perhatikan n buah partikel pada benda tersebut energi kinetik dari n buah partikel tersebut adalah :

K = 1/2 m₁v₁² + 1/2 m₂v₂² + ... + 1/2 m_nv_n²

karena v = wr, maka

K = 1/2 m₁w²r₁² + 1/2 m₂w²r₂² + ... + 1/2 m_nw²r_n²

K = 1/2 ( å m₁r₁² ) w²

Energi kinetik rotasi benda :

K = 1/2 I w² K = 1/2 mv²

dimana I = å m_ir_i² adalah momen kelembaman rotasi atau momen inersia sistem partikel tersebut. Momen inersia ini tergantung pada :

a. distribusi/bentuk massa/benda tersebut.

b. sumbu rotasi.

Untuk benda-benda kontinu momen inersia dapat dicari dari :

I = ò r² dm

dm

r

Untuk benda-benda tertentu momen inersianya dapat dilihat dalam tabel. Bila sumbu putar bergeser sejauh h dari sumbu putar yang melalui pusat massa, maka momen inersianya menjadi :

I = I_pm + Mh²

dimana :

I_pm adalah momen inersia dengan sumbu yang melalui pusat massa.

M adalah massa total benda.

E. DINAMIKA ROTASI BENDA TEGAR

Sebuah benda berotasi dengan sumbu putar adalah sumbu z. Sebuah gaya F bekerja pada salah satu partikel di titik P pada benda tersebut. Torsi yang bekerja pada partikel tersebut adalah :

t = r x F

Arah torsi t searah dengan sumbu z.

Setelah selang waktu dt partikel telah berputar menempuh sudut dq dan jarak yang ditempuh partikel ds, dimana

ds = r dq

Usaha yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini

dW = F . ds

dW = F cos f ds

dW = (F cos f) (r dq)

dW = t dq dW = F.ds

Laju usaha yang dilakukan (daya) adalah :

dW/dt = t dq/dt

P = t w P=Fv

Untuk benda yang benar-benar tegar, tidak ada disipasi tenaga, sehingga laju dilakukannya usaha pada benda tegar tersebut sama dengan laju pertambahan tenaga kinetik rotasinya.

dW/dt = dK/dt

dW/dt = d(1/2 I w²)/dt

t w = 1/2 I dw²/dt

t w = Iw dw/dt

t w = Iw a

t = I a F = m a

F. MENGGELINDING

Misalkan sebuah silinder menggelinding pada bidang datar. Pusat massa silinder bergerak dalam garis lurus, sedang titik-titik yang lain lintasannya sangat komplek (cycloid).

Bila jari-jari silinder R, saat silinder telah berputar sejauh q, pusat massa telah bergeser sejauh s = Rq. Oleh karena kecepatan dan percepatan linear dari pusat massa dapat dinyatakan :

v_pm = Rw

a_pm = Ra

P’

2 v_pm

Q v_pm

P

Relatif terhadap permukaan dimana silinder menggelinding, pusat massa mempunya kecepatan v_pm dan titik P’ mempunyai kecepatan 2v_pm dan kecepatan titik P adalah 0, sehingga titik P dapat dipandang sebagai sumbu putar sesaat silinder yang sedang menggelinding.

Energi kinetik silinder yang menggeklinding tersebut adalah :

K = 1/2 I_P w²

= 1/2 ( I_pm + MR²) w²

= 1/2 I_pmw² + 1/2 MR²w²

K = 1/2 I_pmw² + 1/2 Mv_pm²

Tampak pada ruas kanan, suku pertama menyatakan energi kinetik rotasi murni dengan sumbu melalui pusat massa, dan suku kedua menyatakan energi kinetik gerak translasi murni dengan kecepatan pusat massanya. Jadi gerak menggelinding dapat dipandang sebagai gabungan gerak rotasi murni dan gerak translasi murni.

Rotasi Benda Tegar

Hukum dasar mekanika terbukti mampu menjelaskan berbagai fenomena yang berhubungan dengan sistem diskrit (partikel). Hukum dasar ini tercakup dalam formulasi Hukum Newton tentang gerak. Selain sistem diskrit di alam ini terdapat bentuk sistem lain yaitu sistem kontinyu yang mencakup benda tegar dan fluida. Pada bagian ini akan dibahas formulasi hukum mekanika pada benda tegar yang pada akhirnya akan diperoleh bahwa hukum-hukum yang berlaku pada sistem diskrit juga berlaku pada sistem kontinu ini.

Perbedaan mendasar antara partikel dan benda tegar adalah bahwa suatu partikel hanya dapat mengalami gerak translasi (gerak lurus) saja, sedangkan benda tegar selain dapat mengalami gerak translasi juga dapat bergerak rotasi yaitu gerak mengelilingi suatu poros. Berbagai aspek dari gerak rotasi inilah yang akan menjadi pokok pembahasan pada bab ini.

Baik fluida yang merupakan materi dalam wujud gas atau cair sangat berbeda dengan partikel maupun benda tegar yang berwujud padat, keduanya memiliki hukum dasar yang sama, yaitu hukum dasar mekanika.

Rotasi Benda Tegar : Torsi

Pengamatan terhadap alam di sekitar kita menunjukan kepada kita salah satu bentuk gerak berupa gerak berputar pada porosnya. Jenis gerak ini dinamakan gerak rotasi. Gerak bumi pada porosnya adalah salah satu contoh dari gerak rotasi. Gerak rotasi bumi memungkinkan terjadinya siang dan malam. Ketika kita membuka dan menutup pintu rumah kita, dorongan tangan kita menimbulkan gerak rotasi pintu terhadap engselnya.

Sekarang mari kita tinjau sebuah pintu. Apabila kita mendorong pintu tersebut, maka pintu akan berputar sesuai dengan arah dorongan gaya yang diberikan. Gaya dorong yang menyebabkan pintu berputar selalu berjarak tertentu dari poros putaran. Apabila kita beri gaya dorong tepat di poros, niscaya pintu itu tidak akan berputar. Jarak poros putaran dengan letak gaya dinamakan lengan momen.

Jadi, bisa dikatakan perkalian gaya dan lengan momen ini yang menyebabkan benda berputar. Besaran ini dinamakan torsi atau momen gaya.

Pengertian torsi dalam gerak rotasi serupa dengan gaya pada gerak translasi yaitu sebagai penyebab terjadinya gerak. Menurut hukum Newton, benda bergerak disebabkan oleh gaya. Prinsip ini juga berlaku pada gerak rotasi yang berarti benda bergerak rotasi disebabkan oleh torsi.

Kita bisa mendefinisikan suatu besaran baru, yaitu momen inersia yang menyatakan kelembaman benda ketika benda bergerak rotasi. Momen inersia analogi dengan massa pada gerak translasi.

Torsi atau momen gaya juga dihasilkan dari momen inersia dikalikan dengan percepatan rotasi (percepatan sudut). Ini merupakan analogi dari gaya sama dengan massa dikali percepatan yang merupakan bentuk hukum Newton kedua. Jadi, hukum Newton kedua juga berlaku dalam gerak rotasi. Penjelasan di atas mengungkapkan berlakunya hukum Newton pada gerak rotasi.

Rotasi Benda Tegar : Momen Inersia

Setiap benda memiliki kuantitas yang mewakili keadaan benda tersebut. Massa suatu benda mewakili kelembaman benda ketika benda bergerak translasi. Pada saat benda bergerak rotasi massa tidak lagi mewakili kelembaman benda, karena benda yang bergerak rotasi terikat dengan suatu poros tertentu yang mana keadaan ini tidak dapat diabaikan. Keadaan ini mengharuskan adanya suatu kuantitas baru yang mewakili kelembaman benda yang bergerak rotasi. Besaran yang mewakili kelembaman benda yang bergerak rotasi dinamakan momen inersia (momen kelembaman) dan dilambangkan dengan I.

Pernyataan untuk momen inersia muncul dari analogi hukum Newton kedua untuk gerak rotasi. momen inersia adalah perkalian massa dengan kuadrat jarak benda ke poros. Persamaan ini dapat diperluas untuk sistem benda yang berotasi maupun untuk benda dengan bentuk tertentu.

Momen inersia untuk sistem dengan beberapa benda yang berputar bersama dapat ditinjau sebagai penjumlahan dari tiap-tiap massa tersebut. Adapun untuk benda-benda dengan bentuk tertentu perhitungan momen inersianya menjadi lebih menantang dan lebih mengarah persoalan matematis. Secara sederhana kita dapat menulis pada persamaan momen inersia untuk berbagai bentuk benda tegar sebagai integral kuadrat jari-jari terhadap massa.

Tanda integrasi mewakili penjumlahan terhadap bagian-bagian kecil massa benda. Jadi, pada prinsipnya kedua rumus menyatakan besaran yang sama.

Rotasi Benda Tegar : Momentum Sudut

Pernahkah kalian menyaksikan atlet ski es yang sedang melakukan atraksi berputar? Kalau kita amati dengan cermat putaran atlet ski tersebut akan semakin cepat apabila bentangan tangannya semakin kecil. Apa yang dapat kita pelajari dari peristiwa ini? Perlu kalian ketahui bahwa peristiwa ini berkaitan dengan momentum benda yang berotasi.

Setiap benda yang bergerak memiliki momentum. Benda yang bergerak translasi mempunyai momentum yang besarnya merupakan perkalian antara massa benda dengan kecepatannya. Demikian halnya pada gerak rotasi, kita dapat menuliskan pernyataan untuk momentum sebagai perkalian momen inersia dengan kecepatan sudutnya. Jadi dapat dituliskan

Momentum sudut = momen inersia x kecepatan sudut

Dengan L melambangkan momentum sudut rotasi. momentum sudut adalah hasil perkalian dari lengan momen dengan momentum linier.

Contoh yang baik untuk meggambarkan momentum sudut rotasi, yaitu seseorang yang melakukan ski es (ice skating) ketika sedang mendemon-strasikan atraksi berputar. Kalau kita perhatikan, putaran atlet ski itu semakin cepat tatkala rentangan tangannya semakin pendek. Hal ini menunjukkan suatu fakta bawa pada setiap keadaan momentum sudut benda yang berputar selalu tetap walaupun mengalami perubahan kecepatan atau bentuk. Keadaan ini merupakan bentuk dari hukum kekekalan momentum sudut.

Hukum kekekalan momentum sudut merupakan salah satu hukum dasar dalam fisika dan akan banyak digunakan untuk menyelesaikan berbagai persoalan yang berhubungan dengan gerak rotasi.

Bola Menggelinding

Pada bagian ini kita akan menyelidiki keadaan bola yang menggelinding di atas suatu bidang. Bola menggelinding merupakan representasi dari benda yang bergerak translasi sekaligus rotasi. Ini berarti bola tersebut berputar pada porosnya selain bergerak maju. Keadaan ini dilihat pada gambar.

Gerak bola ini terdiri dari dua kecepatan yang dilakukan bola, yaitu kecepatan linier dan kecepatan sudut (anguler). Selain itu kita juga dapat menyatakan percepatan dari gerak bola menggelinding tersebut sebagai percepatan sudut.

Ada baiknya kita memasukkan besaran energi untuk menggambarkan gerak bola menggelinding. karena bola menggelinding dalam keadaan bergerak maka energi yang terkandung dalam bola yang menggelinding tidak lain adalah energi kinetik. Energi kinetik benda terdiri dari energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi. Sehingga energi kinetik total dari bola menggelinding adalah

E_k = E_k translasi + E_k rotasi